概念

NDCG（Normalized Discounted Cumulative Gain，归一化折损累计增益） 是信息检索与排序学习中用来评价排序质量的核心指标。

它由三个逐层递进的概念组成：

• CG（Cumulative Gain，累计增益）：把排序结果前 k 个位置的相关性得分直接相加。它不关心顺序 —— 排第 1 还是排第 100，贡献完全相同。
• DCG（Discounted Cumulative Gain，折损累计增益）：在 CG 基础上，给越靠后的位置施加越大的折扣（惩罚）。因为决策者通常只关注前几位，排在前面的高相关项理应获得更高权重。
• NDCG（归一化折损累计增益）：把 DCG 除以一个理想排序的 DCG（即 IDCG），把结果压缩到 [0, 1] 区间，方便不同任务之间横向比较。

一句话总结：NDCG 衡量的是真正重要的项，有没有被排在前面，并用 0~1 的分数表达。

作用

NDCG 作为排序评价指标，其普适价值体现在以下几个方面：

1. 客观比较多个排序模型 / 策略：面对同一批待排序对象，不同算法（如基于规则的排序、基于单特征的排序、基于机器学习的排序）给出的榜单往往不同。NDCG 提供一把统一的量尺，让谁的排序更懂得把重要项往前放有据可循，排除人工主观评判。
2. 支持分级相关性评价：现实中的相关性常是分级的（如 0~4 的等级、星级、得分），而非简单的「相关 / 不相关」二分。NDCG 能区分「极重要」与「一般重要」的差异，二值指标则做不到。
3. 聚焦头部质量：很多业务只关心排在最前面的少数结果（搜索的前几条、推荐的前几位、筛选的前 k 个候选）。NDCG@k 直接衡量前 k 个结果里，重要的项是否足够多、是否足够靠前，与真实使用场景高度契合。
4. 可作模型训练目标：在排序学习（Learning to Rank）中，NDCG 既可作为评估指标，也可被直接作为目标函数，指导模型朝着把高相关项顶到前面的方向学习。

公式

设排序列表前 k 个位置的相关性得分为 rel₁, rel₂, ..., relₖ（relᵢ 为第 i 位的相关性等级）。

CG（累计增益）

$CG@k = \sum_{i=1}^{k} rel_i$

DCG（折损累计增益，常用指数形式）

$DCG@k = \sum_{i=1}^{k} \frac{2^{rel_i} - 1}{\log_2(i+1)}$

折扣项 $\log_2(i+1)$ 随位置 i 增大而增大，因此越靠后，单位相关性得分的贡献越小。第 1 位折扣为 $\log_2 2 = 1$（不折损），第 2 位 $\log_2 3 \approx 1.585$，第 3 位 $\log_2 4 = 2$，依此类推。

当相关性得分是连续实数时，则采用对数形式 $DCG@k = \sum \frac{rel_i}{\log_2(i+1)}$。

IDCG（理想 DCG）：将相关性得分按从大到小排序后计算的 DCG，即“理论上最好排法”的得分。

NDCG（归一化）

$NDCG@k = \frac{DCG@k}{IDCG@k} \in [0, 1]$

NDCG 越接近 1，说明排序越好；越接近 0，说明排序越差。

示例：油菜育种品系排序

场景设定

某育种单位有 5 个甘蓝型油菜杂交后代品系，准备筛选综合表现最优者进入区域试验。育种专家依据综合育种价值（产量、含油量、抗疫病性、早熟性）给每个品系打了 0~4 的等级分 —— 这是用于事后评估的真实相关性：

注：rel 是分级的（0~4），正是 NDCG 擅长处理的情形。

两个排序模型

• 模型甲（综合指数排序）给出的推荐顺序：B → C → A → D → E
• 模型乙（仅按单产排序，朴素）给出的推荐顺序：E → D → C → B → A（恰好把最差的排最前，用于对照）

理想顺序（按真实 rel 降序）：A → B → C → D → E，排序可视化如下图：

由图可知，模型甲给出的排序要较优于模型乙。

手动计算（以模型甲为例，k=5）

先准备：位置分母 $\log_2(i+1)$ 为 1, 1.585, 2, 2.322, 2.585；指数项 $(2^{rel}-1)$ 为 rel=4→15，3→7，2→3，1→1，0→0。

模型甲 DCG@5

理想 IDCG@5

$NDCG@5_{甲} = \frac{16.823}{21.347} \approx 0.788$

同理，模型乙 DCG@5 ≈ 10.952，故 $NDCG@5_{乙} \approx 0.513$；理想排序 NDCG = 1.000。

解读：模型甲把极优品系 A 排到了第 3 位（被 B、C 挡在前面），所以没拿满分，但整体仍不错（0.79）；模型乙几乎把顺序完全颠倒，得分骤降到 0.51。NDCG 清晰量化了「谁更懂得把好东西往前放」。

代码实现

下面用 Python 实现 NDCG，并复现上面的油菜育种示例。

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import math

def dcg(rels, k=None):
    """计算 DCG@k（指数形式）。rels 为相关性得分列表（已按模型排序）。"""
    if k is None:
        k = len(rels)
    gain = 0.0
    for i, rel in enumerate(rels[:k], start=1):
        gain += (2 ** rel - 1) / math.log2(i + 1)
    return gain

def ndcg(rels_model, rels_ideal=None, k=None):
    """
    计算 NDCG@k。
    rels_model : 模型给出的排序相关性（顺序即排序结果）
    rels_ideal : 理想排序相关性；缺省时由 rels_model 降序得到
    """
    if rels_ideal is None:
        rels_ideal = sorted(rels_model, reverse=True)
    idcg = dcg(rels_ideal, k)
    if idcg == 0:
        return 0.0
    return dcg(rels_model, k) / idcg

# ---------- 油菜育种示例数据 ----------
# 真实综合育种价值等级：A=4, B=3, C=2, D=1, E=0
true_rel = {"A": 4, "B": 3, "C": 2, "D": 1, "E": 0}

order_甲    = ["B", "C", "A", "D", "E"]   # 模型甲：综合指数排序
order_乙    = ["E", "D", "C", "B", "A"]   # 模型乙：仅按单产排序（朴素对照）
order_ideal = sorted(true_rel, key=lambda x: true_rel[x], reverse=True)

rels_甲    = [true_rel[x] for x in order_甲]
rels_乙    = [true_rel[x] for x in order_乙]
rels_ideal = [true_rel[x] for x in order_ideal]

print("理想顺序   :", order_ideal, "-> IDCG@5   =", round(dcg(rels_ideal), 4))
print("模型甲顺序 :", order_甲,    "-> NDCG@5   =", round(ndcg(rels_甲), 4))
print("模型乙顺序 :", order_乙,    "-> NDCG@5   =", round(ndcg(rels_乙), 4))
print("模型甲 NDCG@3 =", round(ndcg(rels_甲, k=3), 4))
print("理想 NDCG@5   =", round(ndcg(rels_ideal), 4))

运行输出：

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理想顺序   : ['A', 'B', 'C', 'D', 'E'] -> IDCG@5   = 21.3472
模型甲顺序 : ['B', 'C', 'A', 'D', 'E'] -> NDCG@5   = 0.7881
模型乙顺序 : ['E', 'D', 'C', 'B', 'A'] -> NDCG@5   = 0.5129
模型甲 NDCG@3 = 0.7837
理想 NDCG@5   = 1.0

代码要点

• dcg() 用指数形式 $\sum (2^{rel}-1)/\log_2(i+1)$，位置从 1 开始计数。
• ndcg() 默认把输入相关性降序当作理想排序（IDCG）；也可显式传入真实理想列表。
• NDCG 对位置敏感：把 rel=4 的 A 从第 1 位挪到第 3 位，分数立刻从 1.0 掉到 0.79，直观体现了「好东西要往前放」。

总结

• NDCG 是什么：一种把排序结果映射成 0~1 分数的指标，核心是位置越靠后折扣越大 + 归一化到理想排序。
• 关键特性：支持分级相关性；关注头部顺序；跨任务可比。